矩陣線性變換的理解

2022-05-14 15:03:15 字數 1944 閱讀 8642

線性空間:

可以進行線性運算(加法和乘法)的一個大容器。

基:看做線性空間裡面的一個座標系就可以;比如:二維平面空間的基就是二維座標系。

點與向量之間的關係:

點的座標就是一個向量,該向量代表的是從原點到該點的方向和大小。

線性變換:就是從一個線性空間 v 的某一個點躍遷到另一個線性空間 v 的另一個點的運動。蘊含的深層含義是一個點不僅可以變換到同一個線性空間中的另一個點,而且可以變換到另一個線性空間中的另一個點去。

注意:我們只**最常用、最有用的一種變換,就是在同一個線性空間之內的線性變換。也就是說,下面所說的矩陣,不作說明的話,就是方陣,而且是非奇異方陣。

矩陣和線性變換之間的關係:

矩陣本身描述了一個座標系,矩陣與矩陣的乘法描述了一個運動。換句話說:如果矩陣僅僅自己出現,那麼他描述了一個座標系,如果他和另一個矩陣或向量同時出現,而且做乘法運算,那麼它表示運動(線性變換)。

用數學的表示式,我們寫成:

的意思是說矩陣 m 描述了向量 d1到d2的變換(運動)。而矩陣對一個向量的作用無非是把它伸縮或者旋轉。

線性空間:

可以進行線性運算(加法和乘法)的一個大容器。

基:看做線性空間裡面的一個座標系就可以;比如:二維平面空間的基就是二維座標系。

點與向量之間的關係:

點的座標就是一個向量,該向量代表的是從原點到該點的方向和大小。

線性變換:就是從一個線性空間 v 的某一個點躍遷到另一個線性空間 v 的另一個點的運動。蘊含的深層含義是一個點不僅可以變換到同一個線性空間中的另一個點,而且可以變換到另一個線性空間中的另一個點去。

注意:我們只**最常用、最有用的一種變換,就是在同一個線性空間之內的線性變換。也就是說,下面所說的矩陣,不作說明的話,就是方陣,而且是非奇異方陣。

矩陣和線性變換之間的關係:

矩陣本身描述了一個座標系,矩陣與矩陣的乘法描述了一個運動。換句話說:如果矩陣僅僅自己出現,那麼他描述了一個座標系,如果他和另一個矩陣或向量同時出現,而且做乘法運算,那麼它表示運動(線性變換)。

用數學的表示式,我們寫成:

的意思是說矩陣 m 描述了向量 d1到d2的變換(運動)。而矩陣對一個向量的作用無非是把它伸縮或者旋轉。

根據3,做一些小注釋:

1、通過線性變換,矩陣a1左乘向量d1後,d1變成了d2,顯然矩陣把向量d1相對於原來的座標系進行了伸縮和旋轉得到了新的向量d2,注意d2的座標值也是相對於原來座標系的。

2、矩陣a1的本質是以列向量為基的新座標系,a1是非奇異矩陣,列向量是線性無關的。但是隻能保證列向量不共線,不能保證列向量之間兩兩垂直,即未必是正交的。

3、原來的向量d1的每一個值只是相應的新座標每一個維上的權重,但是不知道是不是單位長度的。而且a1的列向量只是描述了方向,並沒有描述長度。結論就是,新的向量d2在新的座標系下的座標值不是d1,是未知的。

參考:神奇的矩陣。黎文科

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