從有趣的五位數,看列舉法的應用

2022-01-14 20:50:44 字數 1010 閱讀 5631

小編有話說

下面是一個很有趣的數學題,題目內容是這樣的:用1,2,3,4,5排成一個五位數,使任兩個相鄰數碼之差至少是2,則這樣的五位數有多少個?如果你沒有思路,就可以在紙上畫畫,數一下。數學加編輯只能提示到這裡了!

分析與解答

答案:這樣的五位數有14個。

法一:特殊位置列舉法

先把最中間的數(即百位)固定下來。

百位為1,兩側的數字組合可以是2、4和3、5,2不可以與1相鄰,3和5都可以與1相鄰,故有4種不同的組合;

百位為2,兩側的數字組合可以是1、4和3、5,1和3都不可與2相鄰,故有2種不同組合;

百位為3,兩側的數字組合可以是1、4和2、5,2和4都不可與3相鄰,故有2種不同組合;

百位為4,分析同百位為2時,2種不同組合;

百位為5,分析同百位為1時,4種不同組合。

所以一共有4+2+2+2+4=14種不同組合。

法二:特殊數字列舉法

考慮3的左右只能是1和5,那麼固定3的位置。

3在百位,1和5固定在3左右,那麼2和4也唯一固定,有2種組合;

3在千位,無論1或5在百位,2和4也唯一固定,有2種組合;

3在萬位,千位要麼是1,要麼是5,可以是31425、31524、35241、35142,有4種組合;

考慮映象,3在十位同千位,有2種組合,3在個位同萬位,有4種組合。一共14種。

法三:圓環法

將1-5五個數字寫在一個圓環上,要滿足題目要求,那麼圓環上數字滿足兩種情況:

a)任意相鄰兩數差至少是2;

b)只有一對相鄰數字差是1。

滿足a只有一種可能:1  3  5  2  4,考慮開頭數字和順逆時針,共10種;

滿足b的有兩種:2  3  5  1  4和3  4  2  5  1,考慮順逆時針,共4種。

一共14種。