中考數學壓軸題分析 周長最大值問題

2021-09-21 01:12:20 字數 2135 閱讀 9146

最短路徑問題特別是將軍飲馬問題在平時遇到比較多。但是周長的最大值,或者說線段和最大值,此類問題出現的頻率不高。不過也是會出現。一般的方式就是利用設未知數表示線段長,利用二次函式的性質進行解題。

【中考題目】

(2020·揚州)如圖1,已知點o在四邊形abcd的邊ab上,且oa=ob=oc=od=2,oc平分∠bod,與bd交於點g,ac分別與bd、od交於點e、f.

(1)求證:oc∥ad;

(2)如圖2,若de=df,求的值;

(3)當四邊形abcd的周長取最大值時,求的值.

【分析】

本題實質是一個圓的有關問題,因為點o到a、b、c、d的長度都是相等的。

題(1)證明兩直線平行,利用角的平分線與等腰三角形,可以得到結論。

題(2)觀察圖2可以發現△abd是等腰直角三角形。可以往這個方向去思考。如下圖,根據de=df,可以得∠def=∠dfe,那麼可以得到兩個綠色的三角形兩對角相等,可以得到∠aod=∠acb=90°,就可以得到等腰直角三角形了。

那麼利用下面的兩個三角形相似,可以得到af與ae的比值,就是ao與ad的比值即可。

題(3)求四邊形的周長的最小值,就是求ad與bc、cd的和最小,也就是求ad+2cd的最小值,可以考慮設其中一個為x,例如cd=x,則bc也為x,再利用垂徑定理與勾股定理,表示出bg、cg、og等的長度,發現ad其實為og的2倍。然後用配方法或者二次函式的頂點座標可以求出結論。

【答案】(1)證明:∵ao=od,

∴∠oad=∠ado,

∵oc平分∠bod,

∴∠doc=∠cob,

又∵∠doc+∠cob∠=∠oad+∠ado,

∴∠ado=∠doc,

∴co∥ad;

(2)解:如圖1,

∵oa=ob=oc,

∴∠adb=90°,

∴△aod和△abd為等腰直角三角形,

∴adao,

∴,∵de=ef,

∴∠dfe=∠def,

∵∠dfe=∠afo,

∴∠afo=∠aed,

又∠ade=∠aof=90°,

∴△ade∽△aof,

∴.(3)解:如圖2,

∵od=ob,∠boc=∠doc,

∴△boc≌△doc(sas),

∴bc=cd,

設bc=cd=x,cg=m,則og=2﹣m,

∵ob﹣og=bc﹣cg,

∴4﹣(2﹣m)=x﹣m,

解得:m,

∴og=2,

∵od=ob,∠dog=∠bog,

∴g為bd的中點,

又∵o為ab的中點,

∴ad=2og=4,

∴四邊形abcd的周長為

2bc+ad+ab=+=

=,∵<0,

∴x=2時,四邊形abcd的周長有最大值為10.

∴bc=2,

∴△bco為等邊三角形,

∴∠boc=60°,

∵oc∥ad,

∴∠dac=∠cob=60°,

∴∠adf=∠doc=60°,∠dae=30°,

∴∠afd=90°,

∴,dfda,

∴.